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单源最短路径---Dijkstra算法

原文 http://blog.csdn.net/fuckguidao/article/details/79053877

2018-01-14 02:00:34阅读(450)

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有这样一道题:在一个图(如图所示)中,一共有四个点:1 2 3 4

这四个点之间各有相连,且每条边都有自己的权值。现在小明在点1上,

他想要到3去,请问最短路径是多少。

单源最短路径---Dijkstra<a href=算法" src="http://img.blog.csdn.net/20171227171418657?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvZnVja2d1aWRhbw==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast" alt="图" title="">单源最短路径---Dijkstra算法

很容易得到该图的邻接矩阵。我们建立一个二维数组a。a[i][j],i表示
起点,为行,j表示终点,为列。将相应的权值传入其中,如果从一个
点到另一个点不通,就认为其权值为无限

例如(1-》2)为2,则a[1][2]=2;
而因为2到1不通,就令a[2][1]=∞;
另外a[1][1]之类的起点终点相同的都设为了0;

对这种求点i到点j的最短路径的问题,很难直接求得。通常是要多求一
些多余的量才能得到结果。因为我们必须要做好遍历全图的准备才能比
较或是寻找出其最短路径。

这时候我们来介绍两种算法:

一种是Dijkstra算法单源最短路径算法; 一种是Floyd多元路径最短算法;

今天只说单源最短路径算法
所谓单源,即求从一个点出发,到其他各点的最短路径,也就是说
如果这个图有n个点,我们要求n-1个路径。
对一个图G来说,它的点集为V,我们要做的就是求出从起点v到V中其
余各点的最短路径。

首先介绍单源最短路径的核心算法:
 起点是v,我们知道在整个图中,以v为起点的路径有很多条,有长的。有短的;有的简单,只有一段弧,只有两个点:起点。终点。有的复杂,有好几段弧,起点终点之间隔了好几个节点。
 我们要做的就是先找到所有这些从v引出的路径中的最短的那一条(v,…,j1)。
 然后通过某种算法(下文中将会介绍)再找出仅长于最短路径的次短路径(v,…,j2),找到以后,(注意:我们把每一次找到的次短路径的终点记录下来,如果下一次找寻的时候遇到以这些点为终点的路径就忽略掉),再找下一条次短路径,再找,再找……
  这里有一个辨析:

按照上述步骤,我们依次找到了整张图中(具有不同终点的)最短的几条路径:
(v,…,j1)  (v,…,j2)   (v,…,j3)  ……  (v,…,j) ……

这里,如果我们称图中所有以v为起点 以j为终点的路径为j族,那么我们每找到一条次短路径 (v,…,j),这条路径(v,…,j)一定是j族中最短的那条。
为什么呢?按照我们的找法,我们实际上是把整张图里的所有以v为起点的路径按照从短到长的顺序排列起来,然后从第一条路径开始往后检索,如果我们从前到后查找时第一次遇到了以j为终点的路径,记为路径1,接下来往后,我们遇到的每一条属于j族的路径都忽略,从而我们得到了之前的序列。显然路径1就是j族中最短的那一条,也是我们的目标路径之一。

我们 所要求的是点v到其余各点的最短路径,其余各点有n-1个,也就是说,我们有n-1个终点,对应n-1个族。对每个族,都有一个对应的最短路径。我们要做的就是求出每个族的最短路径。

之前说到,我们要把每一次找到的次短路径的终点记录下来,下一次遇到的时候就忽略掉,这可以保证最终的得到的序列都属于不同的族,我们可以建立一个点集S,每找到一条次短路径,就将其终点并入集合S中,下一次找寻路径的时候拿终点与点集S对比,决定是否保留。

就这样,每一次我们都找到一个以j为终点的最短路径,而每一次的终点j又都不同,当找了n-1次时,就完成了单源最短路径查找。

我们已经了解完了整体的思路,所以现在的关键性问题就是如何完成对次短路径的查找。也就是上文中提到的某种算法,它到底是什么呢?

第一步:

  一个图中有许多条路径,我们现在在图G中找到以v为起点的最短的那一条路径(v,j)。显然我们可以很容易的的发现,这条最短路径一定是与起点v直接相连的弧,j是v的邻结点。如图所示;
  

第二步:
 接下来,我们来找次短路径,也就是以v为起点的下一条最短的路径。如图所示我们会发现,次短路径要么是弧(v,k)(注:k是v相邻的点,除j外),要么是弧(v,j,k)(k是j紧邻的点)。
 这样,我们通过比较可以求出最短的那一条路径(v,k);

然后我们就会猜想,如果按照第二步的做法一直重复下去,不就能依次找到次短路径了吗?
但是,事实上,当我们尝试之后会发现,随着不断地重复查找次短路径的过程,我们不能单纯的像第二次查找那样,因为每一次的查找都会衍生很多分支。使得查找变得复杂。

怎么解决这个问题呢?为了方便理解我引入了一个观测域的概念。

首先看一些定义:

点集V 图中所有点的集合 点集S  已经找到相应最短路径的终点集合 数组D[n] 存储观测域内能观测到的最短路径,算上起点一共n个数值 。比如D[k]对应在观测域中能观测到的,k族中的最短路径。 邻接矩阵a[n][n]  存储着相应的权值

如图所示:刚开始时,我立足于v点,观测域为v点的四周,即v的所有邻接点。由邻接矩阵a,更新数组D。此时D中的数为(v,k)的权值(k为v的邻接点)。
 

单源最短路径---Dijkstra算法
随后,我在我观测域中找寻最短的那一条路径(v,j)也就是查找数组D中最小的数,并将j收入集合S中。

如图所示:现在我想找次短路径,现在我清楚,这条次短路径要么是(v,k)(k为观测域中的点,但不属于S)的最短边,要么是通过j点的弧(v,j,k)(k为j的邻接点,但不属于S)的最短边。

单源最短路径---Dijkstra算法
我们干脆将j的邻接点全都纳入观测域,同时更新数组D,通过数组D找出次短边(v,j),再将j压入S中。
单源最短路径---Dijkstra算法
不断重复该步骤,直到所有的点都入了S,就完成了查找,这时数组D
D[k]就是从v到k的最短路径的长度。如果你想知道具体的路径时只需加个栈就行了。

所以完整的步骤是这样的:

第一步:
初始化点集S,将起点v收入S中。初始化数组D:D[k]=a[v][k];

第二步:找寻次短路径。即查找数组D找出观测域中最短路径(v,j):D[j]=min(D[k]|k不属于S)。将j压入点集S中

第三步:将j的邻接点并入观测域,即用j的邻接点更新数组D:

 如果D[k]>D[j]+a[j][k]     (k为j邻接点,k不属于S)
 令D[k]=D[j]+a[j][k]
 如果D[k]>D[j]+a[j][k]     (k为j邻接点,k不属于S)
 就不做操作

然后不断重复第二步和第三步直到找到全部节点为止。

具体实现为:

#include<iostream>
using namespace std;
#define BUTONG 1000000          //  无限大为不通 
#define NUM 4      //d点数为4 
int a[NUM][NUM]={
        0,2,6,4,
        BUTONG,0,3,BUTONG,
        7,BUTONG,0,1,
        5,BUTONG,12,0
    };
#define OK 1
#define ERROR 0                 
typedef int status;
bool finish(bool *S,int n)          //是否完成 找寻 
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(!S[i])
        return false;
    }
    return true; 
}
status djs(int n,int t)//a 为数组 n 为点的个数,v为起始点 
{
    //初始化数组v
    int D[n];
    for(int i=0;i<n;i++)
    D[i]=a[t][i];
    D[t]=0;
    //初始化已访问数集S;
    bool S[n];
    for(int i=0;i<n;i++)
    S[i]=false;
    S[t]=true;
    int j=0;
        int min=BUTONG;
    while (!finish(S,n))
    {   j=0;
        min=BUTONG;
        for(int i=0;i<n;i++)        //找到观测域中最短路径(v,j) 
        {
            if(S[i]) continue;
            if(min>D[i]) 
            {min=D[i];j=i;}     
        }   
        S[j]=true;      //将j纳入点集S中 
        for(int i=0;i<n;i++)        //更新观测域 
        {
            if(S[i]) continue;
            if(D[i]>D[j]+a[j][i])
            D[i]=D[j]+a[j][i];      
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++)                //输出 
    {
        printf("最短路径是(v,%d)长度是%d\n",i,D[i]);
    }
    return OK; 
}
int main()
{
    djs(NUM,1);
    return 0;
} 

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